友達と話をしていておもしろい話になりました。
元はわりと有名な問題らしいのですが、自分はまったく知りませんでした。
A、B、C3つの箱がありその中に当りが一つだけ入っています。
あなたがAの箱を選ぼうとしていた時、友人がやってきて
Bの箱を開けました。Bはハズレでした。
友人は「これハズレだな。お前A開けようとしてんの？
Cにした方がいいんじゃないの？」
と言いました。さて箱を変えるべきでしょうか、変えないべきでしょうか。
これは厳密に言えば答えが出ないんですよね。
普通に考えると変えても変えなくても一緒のような気がする人が多いと思うのですが…
ちなみにこの文章を「普通」に読んだら変えても変えなくても一緒です。
確率変動が起きるのは「友人が何を考えて行動したか」です。
●1 友人が答えを知っていた場合
この時、もしBが当りだった場合、
・友人がもともとBを開けて残念、当りはBでしたって言おうとしてたのか
・Cを開けて、お前Bにした方がいいんじゃないの？って言おうとしてたのか
と言う事で変わります。ここでは後者を考えます。
(前提条件＝答えを知っている友人が貴方の初めの選択の後必ずその箱以外のハズレを見せる事、となります)
貴方がAの箱を選ぼうとした時
Bが当りだった場合でもCが当りだった場合でも、友人がハズレを教えてくれるので、箱を変えればば必ず当たります。(67％)
箱を変えない場合は、Aに入っているときだけ当たり。(33％) ※四捨五入
つまり、箱を変えた方がいいです。
尚、前者の場合は下の2のケースと同じになります。
●2 友人が答えを知らなかった場合
普通に問いを考えると、このケースが該当するのだと思います。
この時、もしBが当りだった場合、友人は俺が当りじゃんって言っておしまいです。(33％)
箱を変えない場合でも箱を変える場合でも貴方が当る事はありません。(0％)
あなたが選ぶよりも先にBが箱を開けてハズレだった場合という前提が付くと(67％)
箱を変えない場合は当りがAに入っている時にあたり、(50％)
箱を変えた場合は当りがCに入っている時にあたります。(50％) 当たり前ですね。
つまり、箱を変えても変えなくても変わりません。
尚、これがもし2人の勝負だとした場合でも、2人の勝率は変わりません。
33％→50％と確率はあがっているように見えますが
そもそも貴方が箱を開けることなく終わってしまう確率が33％あるのです。
友人が空箱を開けてしまってからそこで勝負を開始すれば
確かに貴方は50％の確率で勝てますし50％は引き分けです。
でもそんな勝負を受けてくれる友人はいませんよね。
●3 友人が答えを知っていて貴方を騙そうとしていた場合
この時、もしBが当りだった場合、そもそもそんな事をしません。もはや確率の話では無くなってしまいますが、Aが当りだった場合に限り、あなたをCの箱に変えさせようとしているのです。
つまり箱を変えてはいけません。
尚、当りを引いたら貴方が勝ち、引けなければ貴方の負けという勝負をするとして、何度かこの勝負を終え、貴方が初めに当りの箱を選ぼうとした時に必ず友人がこの行動を取る事が分かれば、行動を取らなかった時に箱を変える事で貴方が当りを引ける確率は67％になります。それでは大変ですから、友人は行動を取ったり取らなかったりするでしょう。やっぱり確率の話では無くなりますね。(一応その行動を取る確率が分かれば計算できますが…どんどん離れていくのでこの辺で)
さて、本題に戻って
友人の思考行動パターンがこの3通りであるとしてどれも同じ確率であるとした時に
箱を変えるべきかどうなのかを考えてみましょう。
●1 33％→66％
●2 50％→50％
●3 100％→0％
61％→39％
つまり、箱は変えないほうがいいですね。
こんなことを言っても友人の思考パターンが3通りでどれも同じ確率っていうのがそもそも実世界じゃありえないですよね。前提条件がおかしいんです。
(普通友人なんて人を騙さないだろっていうなら、●1●2しかないなら42％→58％)
結局の所、実世界じゃ条件つき確率ばっかりなので
純粋確率の話なんてしてもしょうがないと言えばしょうがないんですよね。
以上、自分はおもしろいと思ったんだけど結構しょうもない話でした。
P.S なんでこんな話になったかというと例のBBSゲーなわけですが。
自分頭悪いんでひょっとして間違ってたらすみません。
元はわりと有名な問題らしいのですが、自分はまったく知りませんでした。
A、B、C3つの箱がありその中に当りが一つだけ入っています。
あなたがAの箱を選ぼうとしていた時、友人がやってきて
Bの箱を開けました。Bはハズレでした。
友人は「これハズレだな。お前A開けようとしてんの？
Cにした方がいいんじゃないの？」
と言いました。さて箱を変えるべきでしょうか、変えないべきでしょうか。
これは厳密に言えば答えが出ないんですよね。
普通に考えると変えても変えなくても一緒のような気がする人が多いと思うのですが…
ちなみにこの文章を「普通」に読んだら変えても変えなくても一緒です。
確率変動が起きるのは「友人が何を考えて行動したか」です。
●1 友人が答えを知っていた場合
この時、もしBが当りだった場合、
・友人がもともとBを開けて残念、当りはBでしたって言おうとしてたのか
・Cを開けて、お前Bにした方がいいんじゃないの？って言おうとしてたのか
と言う事で変わります。ここでは後者を考えます。
(前提条件＝答えを知っている友人が貴方の初めの選択の後必ずその箱以外のハズレを見せる事、となります)
貴方がAの箱を選ぼうとした時
Bが当りだった場合でもCが当りだった場合でも、友人がハズレを教えてくれるので、箱を変えればば必ず当たります。(67％)
箱を変えない場合は、Aに入っているときだけ当たり。(33％) ※四捨五入
つまり、箱を変えた方がいいです。
尚、前者の場合は下の2のケースと同じになります。
●2 友人が答えを知らなかった場合
普通に問いを考えると、このケースが該当するのだと思います。
この時、もしBが当りだった場合、友人は俺が当りじゃんって言っておしまいです。(33％)
箱を変えない場合でも箱を変える場合でも貴方が当る事はありません。(0％)
あなたが選ぶよりも先にBが箱を開けてハズレだった場合という前提が付くと(67％)
箱を変えない場合は当りがAに入っている時にあたり、(50％)
箱を変えた場合は当りがCに入っている時にあたります。(50％) 当たり前ですね。
つまり、箱を変えても変えなくても変わりません。
尚、これがもし2人の勝負だとした場合でも、2人の勝率は変わりません。
33％→50％と確率はあがっているように見えますが
そもそも貴方が箱を開けることなく終わってしまう確率が33％あるのです。
友人が空箱を開けてしまってからそこで勝負を開始すれば
確かに貴方は50％の確率で勝てますし50％は引き分けです。
でもそんな勝負を受けてくれる友人はいませんよね。
●3 友人が答えを知っていて貴方を騙そうとしていた場合
この時、もしBが当りだった場合、そもそもそんな事をしません。もはや確率の話では無くなってしまいますが、Aが当りだった場合に限り、あなたをCの箱に変えさせようとしているのです。
つまり箱を変えてはいけません。
尚、当りを引いたら貴方が勝ち、引けなければ貴方の負けという勝負をするとして、何度かこの勝負を終え、貴方が初めに当りの箱を選ぼうとした時に必ず友人がこの行動を取る事が分かれば、行動を取らなかった時に箱を変える事で貴方が当りを引ける確率は67％になります。それでは大変ですから、友人は行動を取ったり取らなかったりするでしょう。やっぱり確率の話では無くなりますね。(一応その行動を取る確率が分かれば計算できますが…どんどん離れていくのでこの辺で)
さて、本題に戻って
友人の思考行動パターンがこの3通りであるとしてどれも同じ確率であるとした時に
箱を変えるべきかどうなのかを考えてみましょう。
●1 33％→66％
●2 50％→50％
●3 100％→0％
61％→39％
つまり、箱は変えないほうがいいですね。
こんなことを言っても友人の思考パターンが3通りでどれも同じ確率っていうのがそもそも実世界じゃありえないですよね。前提条件がおかしいんです。
(普通友人なんて人を騙さないだろっていうなら、●1●2しかないなら42％→58％)
結局の所、実世界じゃ条件つき確率ばっかりなので
純粋確率の話なんてしてもしょうがないと言えばしょうがないんですよね。
以上、自分はおもしろいと思ったんだけど結構しょうもない話でした。
P.S なんでこんな話になったかというと例のBBSゲーなわけですが。
自分頭悪いんでひょっとして間違ってたらすみません。
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